Hola.
La fórmula que se usa para cuantificar la gravedad es la misma de siempre, la cual relaciona las masas de los cuerpos en cuestión y la distancia entre ellas, pero sucede que al introducir la teoría de la relatividad, ciertas cantidades se ven afectadas por la constancia de la velocidad de la luz (longitud, tiempo, etc), debido a que no hay una referencia inercial absoluta, en esto difiere de la teoría física clásica.
Al no haber un marco inercial de referencia absoluto, se puede crear la sensación de aceleración de gravedad de otras maneras, por lo tanto la gravedad es tan solo un efecto, que como tu dices, involucra la geometría de una nueva concepción: Espacio-Tiempo.
La teoría de la relatividad se basa en asignar una constante universal en cualquier marco referencial, la cual es la velocidad de la luz, esto hace que cambien ciertas cosas en torno a lo que se tenía anteriormente en la física clásica. Hay unas fórmulas por ahí que son las de Lorentz, las cuales ya estaban desde antes, (por problemas en la teoría electromagnética) las cuales son base fundamental para calcular esas variaciones en el tiempo, longitud y masa de los cuerpos cuando se mueven a velocidades muy altas, cercanas a la velocidad de la luz.
Eisntein, ponía el ejemplo de los ascensores para demostrar que la gravedad es una ilusión, mas que una fuerza real, si un ascensor esta en el universo vacío, los ocupantes sentirían que flotan, pero si el ascensor en el vacío sube, los ocupantes no sentirán que están en el vacío, si no que sentirán que están en un marco inercial acelerado y viceversa si un ascensor en la tierra llega a estar en caída libre, los ocupantes van a sentir la ausencia de la fuerza de la gravedad, de hecho esto lo usan en algunos aviones para simular que están en el vacío.
No hay que olvidar que según la teoría clásica, la masa era inmodificable, lo mismo que el tiempo y la distancia, mientras que con la teoría relativista, solo hay algo constante: la velocidad de la luz, por ende todo lo demás puede cambiar según el marco de referencia que se tome.
Saludos